集合演算子


■はじめに

Adobe Illustratorの「パスファインダ」パレットでは、形状モードの機能がベン・オイラー図のようなシンボルで表示されています。これに触発されて、集合演算子についてベン・オイラー図を描きながら手短に復習してみます。


■和集合A∪B

Illustratorの「追加」に対応します。和集合とは、二つ以上の集合の集まりに対して、それらのいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことです。合併集合もしくは「結び」とも呼ばれます。論理演算子ORに相当します。


■差集合A-B

Illlustratorの「型抜き」に対応します。差集合とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことです。相対補集合とも呼ばれます。


■積集合A∩B

Illustratorの「交差」に対応します。積集合とは、与えられた集合の集まり全てに共通に含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことです。共通集合もしくは「交わり」とも呼ばれます。論理演算子ANDに相当します。


■対称差A△B

Illustratorの「除外」に対応します。対称差とは、二つの集合に対し、どちらか一方の集合には含まれるが両方とも含まれることがないような要素を集めてできる新たな集合のことです。環和とも呼ばれます。論理演算子XORないしEORに相当します。


■補集合-A

IllustratorやPhotoshopの「選択範囲を反転」に対応します。絶対補集合とは、全体集合とその部分集合が与えられたとき、全体集合には属するが部分集合には属さないすべての要素のことです。論理演算子NOTに相当します。


■ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は、和集合、積集合、補集合の間の重要な関係式です。この関係式は、ベン・オイラー図を用いて容易に証明することができます。第一の関係式の各辺は論理演算子NORに、第二の関係式の各辺は論理演算子NANDに相当します。


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